2-duong-thang-trung-nhau

Trong môn học Toán, để giải các bài toán liên quan đến hình học, rất quan trọng để xác định chính xác các điều kiện để 2 đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song và vuông góc. Điều này giúp áp dụng kiến thức vào việc tính diện tích, chu vi và thể tích của các hình.

2-duong-thang-trung-nhau
Đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau và vuông góc

1. Hai đường thẳng có phương trình y = ax + b và y’ = a’x + b’:

  1. Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi a ⋅ a’ = -1.
  2. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a’ và b ≠ b’.
  3. Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a’.
  4. 2 đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b’.

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, tích của hệ số góc của chúng a ⋅ a’ sẽ bằng -1. Trong trường hợp này, hai đường thẳng giao nhau và tạo thành một góc 90 độ. Trường hợp đường thẳng song song xảy ra khi a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này hai đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau. Khi a ≠ a’, hai đường thẳng sẽ cắt nhau. Hai đường thẳng được cho là trùng nhau khi a = a’ và b = b’.

Bên cạnh lý thuyết về 2 đường thẳng trùng nhau, bạn có thể tìm hiểu các kiến thức khác về 2 đường thẳng như:

Tổng hợp các kiến thức hay nhất về hai đường thẳng chéo nhau2 đường thẳng song song với nhau

Ví dụ về 2 đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song và vuông góc

Ví dụ 1: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4:

a) Song song.
b) Vuông góc.

Hướng dẫn giải:

a) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 song song.
⇔ m + 1 = 2m – 1
⇔ m = 2.
Vậy m = 2.

b) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 vuông góc.
⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1
⇔ 2m^2 + m – 1 = -1
⇔ 2m^2 + m = 0
⇔ m(2m + 1) = 0
Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

Ví dụ 2:

a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 và đi qua A(2; -1).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.
(d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 ⇒ a = 2.
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 ⇒ b = 4.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x + 4.

b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m
(d) vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 ⇔ k. 1/3 = -1 ⇔ k = -3.
(d) đi qua A(2; -1) ⇔ -1 = 2k + m = 2.(-3) + m ⇔ m = 5.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = -3x + 5.

3. Bài tập trắc nghiệm và tự luận về hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Bài 1: Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y = 2x – 1:

A. Song song
B. Vuông góc
C. Cắt nhau
D. Trùng nhau.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 2: Đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?

A. y = 2x + 3
B. y = -2x + 3
C. y = 1/2x
D. y= -1/2x

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 3: Đường thẳng y = (2m – 3)x + 1 và đường thẳng y = -x + 3 song song nhau thì giá trị của m là:

A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 4: Hai đường thẳng y = (m – 2)x + 3 và y = mx – 1 vuông góc với nhau thì giá trị của m là:

A. m = 0
B. m = 1
C. m = 2
D. m = 3.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 5: Hàm số có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(-1 ; 2) là:

A. y = 2x + 4
B. y = -2x.
C. y = -1/2x + 3/2
D. y = -1/2x – 3/2.

Lời giải:

Đáp án: C

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/3x.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d1): y = -3x + 1 có hệ số góc k1 = -3
Đường thẳng (d2): y = 1/3x có hệ số góc k2 = 1/3.
Ta có : k1. k2 = -1
⇒ (d1) ⊥ (d2).
Hay góc tạo bởi (d1) và (d2) là 90o.

Bài 2: Cho hai đường thẳng (d1) y = (2 – m2)x + m – 5 và (d2) y = mx + 3m – 7.

a) Tìm m để d1 // d2.
b) Có giá trị nào của m để d1 và d2 trùng nhau không?

Hướng dẫn giải:

a) d1 // d2
⇔ m = -2.

b) d1 và d2 trùng nhau
⇔ m = 1.

Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M(-1 ; 2) và vuông góc với d.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m
(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.(-2) = -1 ⇔ k = 1/2.
(d’) đi qua M(-1; 2) ⇔ 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1/2x + 5/2.

Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 1 và điểm M(1 ; 1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).

Hướng dẫn giải:

  • Tìm đường thẳng d’: y = kx + m qua M và vuông góc với d:
    (d’) vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2.
    (d’) đi qua M(1; 1) ⇔ ⇔ m = 1/2.
    Vậy d’: y = -1/2x + 1/2 .
  • Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’.
    Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:
    2x +1 = -1/2x + 1/2 ⇔ x = -1/5 ⇒ y = 3/5 .
    Vậy hình chiếu của M trên d là H (-1/5; 3/5).

Bài tập tự luận:

Bài 1: Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/3x.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d1): y = -3x + 1 có hệ số góc k1 = -3
Đường thẳng (d2): y = 1/3x có hệ số góc k2 = 1/3.
Ta có : k1. k2 = -1
⇒ (d1) ⊥ (d2).
Hay góc tạo bởi (d1) và (d2) là 90o.

Bài 2: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = (5 – k).x + (4 – m). Tìm m, k để đồ thị của hai hàm số

a, Trùng nhau
b, Song song với nhau
c, Cắt nhau

Bài 3: Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân
b, Cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy
c, Cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên Ox

Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m – 2)x + m + 3 và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy

Bài 5: Cho hàm số y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2l – 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là:

a, Hai đường thẳng cắt nhau
b, Hai đường thẳng song song với nhau
c, Hai đường thẳng trùng nhau

Bài 6: Cho hàm số y = mx + 4 và y = (2m – 3)x – 2. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a, Hai đường thẳng song song với nhau
b, Hai đường thẳng cắt nhau
c, Hai đường thẳng trùng nhau
d, Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung

Bài 7: Cho hai hàm số y = 2x + m – 3 và y = 5x + 5 – 3m. Tìm m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 8: Cho hai hàm số y = (m – 1)x + 3 và y = (3 – m)x + 1

a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm só là hai đường thẳng song song với nhau
b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của 2 hàm số là hai đường thẳng cắt nhau

Bài 9: Cho hàm số y = mx – 2 (m khác 0). Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 10: Cho hàm số y = x + m. Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng x – y + 3 = 0.