2-tam-giac-vuong-bang-nhau

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là một chủ đề rất quan trọng và hữu ích cho các bạn học sinh lớp 7. Tài liệu này cung cấp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập trắc nghiệm, tự luận tự luyện về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Đây là những nguồn tư liệu học tập giúp bạn nắm vững kiến thức hình học. Hy vọng bài học này sẽ giúp bạn ghi nhớ lý thuyết về 2 tam giác vuông bằng nhau và áp dụng nhanh chóng vào giải các bài toán.

2-tam-giac-vuong-bang-nhau
Hình ảnh mô tả hai hình tam giác vuông bằng nhau

A. Khái niệm hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C”.

B. Các trường hợp 2 tam giác vuông bằng nhau

  • Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh )

  • Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc )

  • Cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc)

  • Cạnh huyền – cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

C. Ví dụ minh họa các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Ví dụ 1:

Cho ΔABC cân ở A (∠A < 90o). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB).

a) Chứng minh rằng AH = HK

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

Trả lời:

Vẽ hình minh họa:

dang-bai-toan-1

a) ΔABC cân tại A (giả thiết)

Suy ra

AB = AC (tính chất)
\widehat{ABC} = \widehat{ACB}(định lí)

Xét hai tam giác vuông HAB và KAC, ta có:

AB = AC (chứng minh trên)
\widehat{A} chung
⇒ ΔHAB = ΔKAC (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = AK (cặp cạnh tương ứng)
b) Xét hai tam giác vuông KAI và HAI, ta có:
AH = AK (chứng minh trên)
AI cạnh chung
⇒ ΔHAI = ΔKAI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\Rightarrow \widehat{KAI} = \widehat{HAI}(cặp góc tương ứng)
Hay AI là tia phân giác của \widehat{A}

Ví dụ 2: Các tam giác vuông ABC và DEF có góc A = góc D = 90o, AC = DF. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ΔABC = ΔDEF.
Trả lời

dang-bai-toan-2

  • Bổ sung AB =DE thì ΔABC = ΔDEF (cạnh – góc – cạnh)
  • Bổ sung  \widehat{C} = \widehat{F} thì ΔABC = ΔDEF (góc – cạnh – góc)
  • Bổ sung BC = EF thì ΔABC = ΔDEF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng
a) HB = HC
b) góc BAH = góc CAH

Trả lời

dang-bai-toan-3

a) Xét hai tam giác vuông ΔABH và ΔACH có:

AB = AC (giả thiết)

AH cạnh chung

⇒ ΔABH = ΔACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra HB = HC (cặp cạnh tương ứng)

b) Ta có ΔABH = ΔACH (chứng minh trên)

\Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{CAH}(cặp góc tương ứng)

Ví dụ 4:
Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Bài 4.20
Gợi ý đáp án:
a) Xét 2 tam giác vuông ABC và ADC có:
AC chung
ΔABC = ΔADC (g.c.g)

b) Xét 2 tam giác vuông HEG và GFH có:
HE = GF (gt)
HG chung
ΔHEG = ΔGFH (c.h-c.g.v)

c) Xét 2 tam giác vuông QMK và NMP có:
QK = NP
ΔQMK = ΔNMP (c.h-c.g.v)

d) Xét 2 tam giác vuông VST và UTS có:
VS=UT
ST chung
ΔVST = ΔUTS (c.g.c)

Ví dụ 6:
Cho hình 4.56, biết  AB=CD, \widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^o}. Chứng minh rằng \Delta ABE = \Delta DCE.

Bài 4.21

Gợi ý đáp án:
Vì tổng 3 góc trong 1 tam giác luôn bằng 180 độ.
Xét hai tam giác AED và DEC có:
\widehat {AEB} = \widehat {DEC}(đối đỉnh) và .
Suy ra:
Xét 2 tam giác vuông AEB và DEC có:
AB=DC
ΔAEB = ΔDEC(g.c.g)

Ví dụ 7:
Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng \Delta ABM = \Delta DCM.
Gợi ý đáp án:
Xét 2 tam giác vuông ABM và DCM có:
AB = DC (tính chất hình chữ nhật)
BM = CM (gt)
ΔABM = ΔDCM(c.g.c)

D. Bài tập các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

I. Lý thuyết:
Câu 1: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Câu 2: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Câu 3: Phát biểu định lí một đường thẳng vuông góc với mọt trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 4: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 5: Phát biểu định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh?
Câu 6: Các em tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liêu quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên?

II. Bài tập:

A. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABC có . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. Biết
a) Chứng minh
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của
c) Giả sử . Tính các góc còn lại của tam giác DAE.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh
Bài 4. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a) D = D.
b) AB vuông góc OI..
Bài 5. Cho có . Kẻ tia phân giác của ( D thuộc BC). Trên canh AC lấy điểm E sao cho A E=A B, trên tia A B lấy điểm F sao cho A F=A C. Chứng minh rằng:
c) FDE thẳng hàng.
Bài 6. Cho góc nhọn . Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA=OB ;OC=OD. (A nằm giữa O và C; B Nằm giữa O và D).
a) Chứng minh
b) So sánh 2 góc và
Bài 7. Cho DABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh
Bài 8. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a) D = D.
b) AB vuông góc OI.
Bài 9. Cho DABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh AC // BE.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.
Bài 10. Cho vuông tai
a) Tính
b) Trên canh , lấy điểm D sao cho BD=BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tai E. Chứng minh
c) Qua c, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H, CH cắt AB tại F. Chứng minh
d) Chứng minh và ba điểm D, E, F thẳng hàng
Bài 11. Cho , có và M là trung điểm của AB
a) Chứng minh
b) Qua A vẽ Chứng minh và a / / B C
c) Qua C, vẽ b/ / AM. Goi N là giao điểm của hai đường thẳng a và b. Chứng minh
d) Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn MN
Bài 12. Cho , gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Chứng minh rằng:
a)
b) AB = AC và AB//CD
c)
d) Trên các đoạn thẳng AB, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=AF. Chứng minh E, M, F thẳng hàng
Bài 13. Cho hình 4.56, biết . Chứng minh rằng .
Gợi ý đáp án:
Vì tổng 3 góc trong 1 tam giác luôn bằng 180 độ.
Xét hai tam giác AED và DEC có:
(đối đỉnh) và .
Suy ra:
Xét 2 tam giác vuông AEB và DEC có:
AB=DC
ΔAEB = ΔDEC(g.c.g)
Bài 14. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng .
Gợi ý đáp án:
Xét 2 tam giác vuông ABM và DCM có:
AB = DC (tính chất hình chữ nhật)
BM = CM (gt)
ΔABM = ΔDCM(c.g.c)

D. Bài tập trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

I. Lý thuyết:
Câu 1: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Câu 2: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Câu 3: Phát biểu định lí một đường thẳng vuông góc với mọt trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 4: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 5: Phát biểu định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh?
Câu 6: Các em tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liêu quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên?

II. Bài tập:

A. Bài tập tự luận

Bài 1: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Bài 2. Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Bài 3: Phát biểu định lí một đường thẳng vuông góc với mọt trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Bài 4: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Bài 5: Phát biểu định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh?
Bài 6: Các em tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liêu quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên?

II. Bài tập:

A. Bài tập tự luận

Bài 1: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?

Bài 2: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?

Bài 3: Phát biểu định lí một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết và kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 4: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết và kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 5: Phát biểu định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết và kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 6: Tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liên quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên.

II. Bài tập:

A. Bài tập tự luận

Bài 1: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?

Bài 2: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?

Bài 3: Phát biểu định lí một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết và kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 4: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết và kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 5: Phát biểu định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết và kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 6: Tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liên quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90° . Cần điều kiện gì để tam giác ABC bằng tam giác NPM theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông?
A. BA = PM
B. BA = PN
C. CA = MN
D. ∠A = ∠N

Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác MNP có ∠A = ∠M = 90°, ∠C = ∠P. Cần điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?
A. AC = MP
B. AB = MN
C. BC = NP
D. AC = MN

Bài 3: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có: ∠B = ∠E = 90°, AC = DF, ∠A = ∠F. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ΔABC = ΔFED
B. ΔABC = ΔFDE
C. ΔBAC = ΔFED
D. ΔABC = ΔDEF

Bài 4: Cho tam giác ABC và tam giác KHI có: ∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ΔABC = ΔKHI
B. ΔABC = ΔHKI
C. ΔABC = ΔKIH
D. ΔACB = ΔKHI

Bài 5: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, ∠B = ∠E, ∠A = ∠D = 90°. Biết AC = 9cm. Tính độ dài DF?
A. 10cm
B. 5cm
C. 9cm
D. 7cm

Trên đây là những kiến thức về 2 tam giác vuông bằng nhau và các bài toán liên quan. Để tìm hiểu thêm các kiến thức bổ ích khác, bạn hãy truy cập vào trang Trường trực tuyến nhé.