bat-dang-thuc-vecto

Bạn có muốn tìm hiểu về bất đẳng thức vecto? Đây là một chủ đề quan trọng và mới mẻ trong toán học, được áp dụng trong các bài tập chứng minh. Để giải quyết tốt các dạng bài tập này, hãy cùng Trường trực tuyến khám phá kiến thức về bất đẳng thức vecto!

bat-dang-thuc-vecto
Bất đẳng thức quan trọng – BĐT Vecto

1. Định nghĩa về vecto

Trong toán học sơ cấp, vecto (Vector trong tiếng Anh hay trong Hán-Việt là hướng lượng) là một đoạn thẳng có hướng. Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vecto AB.

Trong toán học cao cấp, vecto là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài).

2. Phép tính vecto cơ bản

2.1. Cộng hai vecto

  • Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ ABCD là một vectơ được xác định theo quy tắc:
    • Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ CD sao cho điểm đầu C của CD trùng với điểm cuối B của AB. Khi đó vectơ AD có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng.
    • Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ CD đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ AB. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần ABCD, chiều từ gốc A đến điểm cuối.

2.2. Trừ hai vecto

Vectơ đối của vectơ AB là vectơ BA.

2.3. Nhân 2 vecto

Với hai vectơ bất kì, với mọi số hk, ta có:

  • k(AB) = kA + kB
  • (h + k)A = hA + kA
  • h(kA) = (hk)A
  • 1A = A, -1A = -A

2.4. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ ab nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó, ký hiệu là (ab).

Các tính chất của tích vô hướng:

  • Tính chất giao hoán: (ab) = (ba)
  • Tính chất phân phối: (a(b+c)) = (ab) + (ac)
  • (kA.b) = k(A.b) = (kA)b
  • A^2 >= 0, A^2 = 0 khi và chỉ khi A = 0

Một số tính chất mở rộng:

  • (A+B)^2 = A^2 + 2(A.B) + B^2
  • (A-B)^2 = A^2 - 2(A.B) + B^2
  • (A+B).(A-B) = A^2 - B^2

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
(A.B) = a1.b1 + a2.b2

3. Bất đẳng thức vecto

  1. Độ dài vecto

Trong mặt phẳng tọa độ hệ trục Oxy, vecto x=(x1;y1) có độ dài là |x| = √(x1^2 + y1^2)

Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz, vecto x=(x1;y1;z1) có độ dài là |x| = √(x1^2 + y1^2 + z1^2)

  1. Bất đẳng thức vecto

Cho hai vecto ab (trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có:

  • a^2 >= 0 khi a = 0
  • |a+b| <= |a| + |b| khi ab cùng chiều.
  • |a.b| <= |a|.|b| khi ab cùng phương.

Áp dụng nếu u(x1;y1), v(x2;y2) ta có:

  • √(x1^2 + y1^2) + √(x2^2 + y2^2) >= √((x1+x2)^2 + (y1 + y2)^2)
  • √(x1^2 + y1^2) + √(x2^2 + y2^2) >= √((x1-x2)^2 + (y1 - y2 )^2)
  • |x1x2 + y1y2| <= √(x1^2+y1^2) √(x2^2 + y2^2) (Bất đẳng thức Bunhiacopxki).

4. Ứng dụng bất đẳng thức vecto

  • Ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình: Để giải quyết các dạng bài tập này, ta biến đổi phương trình đã cho sau đó xét các vecto có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba bất đẳng thức vecto trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để đưa ra nghiệm của phương trình đã cho.
  • Ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức: Để làm được dạng bài này, ta biến đổi bất đẳng thức đã cho sau đó xét các vecto có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba bất đẳng thức vecto trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh bất đẳng thức đã cho.
  • Ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Để làm được dạng bài này, ta cần xét các vecto có tọa độ thích hợp sử dụng một trong ba bất đẳng thức vecto trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Trên đây là tổng hợp những thắc mắc kiến thức về chủ đề bất đẳng thức vecto mà các bạn học sinh hay gặp phải. Hy vọng rằng bài viết trên của Trường trực tuyến sẽ là nguồn kiến thức hữu ích giúp các bạn thành thạo với dạng bài tập này. Chúc các bạn đạt được điểm số cao!