bat-phuong-trinh-bac-nhat-2-an

Trong môn học Toán lớp 10, bài toán bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là một phần kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Bài toán này thường xuất hiện trong đề thi và có ứng dụng rất rộng rãi trong cuộc sống thực.

1. Tổng quan lý thuyết bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

1.1. Định nghĩa

Bài toán bậc nhất 2 ẩn x và y có dạng tổng quát như sau:

Trong đó:

  • a, b, c là những số thực đề bài cho trước
  • a và b không cùng bằng 0
  • x và y là các biến (ẩn số)

Hai biến số sao cho là bất đẳng thức đúng thì cặp biến số đó được gọi là 1 nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn.

Ví dụ về bpt bậc nhất 2 ẩn: ; ;…

1.2. Miền nghiệm

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn lớp 10 được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ chính là nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ: Miền nghiệm biểu diễn hình học (phần không bị gạch) của bpt bậc nhất 2 ẩn được biểu diễn theo hình dưới đây:

mien-nghiem-bat-phuong-trinh-2-an
Miền nghiệm

Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn, các em học sinh thực hiện theo các bước sau đây:

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng
  • Bước 2: Xét điểm không thuộc đường thẳng d. Thường ở bước này, ta sẽ lấy điểm M là gốc toạ độ.
  • Bước 3: Tính và so sánh giá trị với c.
  • Bước 4: Kết luận
    • Nếu thì nửa mặt phẳng chứa điểm là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc
    • Nếu thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm chính là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc

Lưu ý: Miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn chính là miền nghiệm của bất phương trình bỏ đi đường thẳng

1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 cũng tương tự như hệ bất phương trình một ẩn đã học ở các bài trước.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y mà ta cần tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là 1 nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

Cũng giống như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ với các bước thực hiện giống như xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Bài tập luyện tập bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập giải chi tiết

Câu 1: Mô tả dạng hình học miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn sau:

(x-2y)/2 > (2x+y+1)/3

Câu 2: Xác định miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn:

(x-y)(x3 + y3) >= 0

Câu 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dưới đây không chứa một trong các điểm nào sau đây: A(3;2), B(6;3), C(6;4), D(5;4)?

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=y-x trên miền xác định bởi hệ bpt bậc nhất 2 ẩn sau đây là bao nhiêu?

y – 2x <= 2
2y – x >= 4
x + y <= 5

Câu 5: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của 2 loại vitamin A và B. Nhà khoa học đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, một người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không vượt quá 600 đơn vị vitamin A và không vượt quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của 2 loại vitamin trên nên mỗi ngày 1 người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để 1 người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá trị 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.

Hướng dẫn giải:

Câu 1: Ta có

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng : x+4y+2=0.

Xét điểm O(0;0), ta thấy rằng (0;0) không phải nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (không kể đường thẳng ) và không chứa điểm O(0;0) (miền không được tô màu ở hình vẽ).

giai-bai-tap-1

Câu 2:

Ta có:

Vậy, miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn đã cho gồm 2 miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (1) và (2).

Vẽ các đường thẳng (d): x + y = 0, (d’’): x – y = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Xét điểm M(1;0): Điểm M là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó M thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).

Xét điểm N(-1;0), ta có (-1;0) là nghiệm của các bpt bậc nhất 2 ẩn hệ (2) do đó N(-1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2).

Vậy miền nghiệm cần tìm là mặt phẳng không được tô màu trong hình vẽ dưới đây:

giai-bai-tap-2

Câu 3:

Vẽ 3 đường thẳng:

Ta thấy (5;3) là nghiệm của cả 3 bpt bậc nhất 2 ẩn. Điều đó có nghĩa là điểm (5;3) thuộc cả 3 miền nghiệm của 3 bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đề bài cho.

giai-bai-tap-3

Câu 4:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn đề bài trên hệ trục toạ độ như hình vẽ sau đây:

giai-bai-tap-4

Ta thấy, biểu thức F=y-x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc điểm C.

Ta có: F(A)=4-1=3; F(B)=2; F(C)=3-2=1.

Vậy, minF=1 khi x=2 và y=3.

Câu 5:

Gọi lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để 1 người cần dùng trong 1 ngày.

Trong 1 ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A và B nên ta có: .

Hằng ngày tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: .

Mỗi ngày 1 người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A nên ta có: .

Số tiền cần dùng mỗi ngày là: .

Bài toán trở thành: Tìm thoả mãn hệ

0 <= x <= 600, 0 <= y <= 500
400 <= x + y <= 1000
0,5x <= y <= 3x

để đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải hệ, ta được x=100 và y=300

Vậy 1 người cần dùng 100 đơn vị Vitamin A và 300 đơn vị Vitamin B để chi phí rẻ nhất.

Bài tập bất phương trình bậc nhất 2 ẩn dạng trắc nghiệm

Câu 1: Bất phương trình nào sau đây là bpt bậc nhất 2 ẩn?

A. 2x2 + 3y > 0
B. x2 + y2 <2
C. x + y2 < 0
D. x + y < 0

Câu 2: Miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (3;0)
B. (3;1)
C. (2;1)
D. (0;0)

Câu 3: Điểm A(-1;3) là điểm thuộc miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn nào sau đây?

A. -3x + 2y – 4 > 0
B. x + 2y < 0
C. 3x – y > 0
D. 2x – y + 4 > 0

Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình là phần tô đậm trong hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

Câu 5: Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bpt bậc nhất 2 ẩn sau đây?

bai-tap-trac-nghiem-5

A. 2x-y<3
B. 2x-y>3
C. x-2y<3
D. x-2y>3

Câu 6: Cho hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. O(0;0)
B. M(1;1)
C. N(-1;1)
D. P(-1;-1)

Câu 7: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau đây?

bai-tap-trac-nghiem-7

Câu 8: Trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương hiệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo.

  • Để pha được 1 lít nước cam cần 30g đường, 1g hương hiệu và 1 lít nước và 1g hương liệu;
  • Để pha được 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu.

Mỗi lít nước cam sẽ nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm cao nhất?

A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo
B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo
C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo
D. 4 lít nước cam và 6 lit nước táo

Câu 9: Công ty bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc , được cao Sao vàng và đựng “Quy sâm đại bồ hoàn”. Để sản xuất các loại hộp giấy trên, công ty dùng các tấm bìa kích thước như nhau. Mỗi tấm bìa có 2 cách cắt khác nhau.

  • Cách thứ nhất cắt được 3 hộp , 1 hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
  • Cách thứ hai cắt được 2 hộp , 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm.

Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án nào sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

A. Cắt theo cách 1 được x – 2 < 0 tấm, cắt theo cách 2 được 300 tấm.
B. Cắt theo cách 1 được 150 tấm, cắt theo cách hai được 300 tấm.
C. Cắt theo cách 1 được 50 tấm, cắt theo cách 2 được 300 tấm.
D. Cắt theo cách 1 được 100 tấm, cắt theo cách 2 được 200 tấm.

Đáp án:

  1. D
  2. C
  3. A
  4. A
  5. B
  6. C
  7. A
  8. C
  9. B

Các bạn vừa cùng Trường trực tuyến ôn tập lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn. Để học thêm nhiều kiến thức bổ ích về Toán lớp 10, Toán THPT,… truy cập ngay website của chúng tôi để tham khảo nhé!