bat-phuong-trinh-co-nghiem-khi-nao

Bất phương trình là một chủ đề quan trọng trong môn Toán 10. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một nội dung cần thiết cho học sinh lớp 10. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bất phương trình có nghiệm khi nào và phương pháp để giải bất phương trình này.

bat-phuong-trinh-co-nghiem-khi-nao
Điều kiện để bất phương trình có nghiệm

1. Bất phương trình có nghiệm khi nào? Điều kiện của m để bất phương trình có nghiệm

Để tìm m để bất phương trình có nghiệm, chúng ta sử dụng phương pháp sau:

  1. Đối với các bất phương trình có dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
  • f(x) > 0 không có nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 đúng với mọi x ∈ ℝ.
  • f(x) < 0 không có nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 đúng với mọi x ∈ ℝ.
  1. Đối với các bất phương trình có dạng ax² + bx + c > 0 hoặc ax² + bx + c < 0, chúng ta sử dụng công thức sau:
  • ax² + bx + c > 0 có nghiệm ⇔ Δ = b² – 4ac > 0 và a > 0.
  • ax² + bx + c < 0 có nghiệm ⇔ Δ > 0 và a < 0.

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

  1. Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m – 1)x² + 2mx – 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ.

Hướng dẫn giải:

  • Đặt (m – 1)x² + 2mx – 3 = f(x)
  • TH1: m – 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x – 3 > 0⇒ x > 3/2 (Loại)
  • TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
  • Để bất phương trình f(x) > 0 có nghiệm đúng với mọi x, ta cần giải hệ sau:
    • a > 0 (với a = m – 1)
    • Δ = b² – 4ac > 0 (với a = m – 1, b = 2m, c = -3)
  • Từ đó, ta có: m – 1 > 0 và 4m² + 12m – 12 > 0
  • Giải hệ này ta được: 1 < m < sqrt(21) – 3 hoặc m > 1
  • Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ.
  1. Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc ℝ.

a. (m – 3)x² + (m + 1)x + 2 < 0
b. (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải:
a. Đặt (m – 3)x² + (m + 1)x + 2 = f(x)

  • TH1: m – 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)
  • TH2: m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
  • Để bất phương trình f(x) < 0 có nghiệm đúng với mọi x, ta cần giải hệ sau:
    • a > 0 (với a = m – 3)
    • Δ = b² – 4ac > 0 (với a = m – 3, b = m + 1, c = 2)
  • Từ đó, ta có: m – 3 > 0 và m² – 6m + 5 > 0
  • Giải hệ này ta được: m > 3 và 1 < m < 5
  • Vậy với 1 < m < 3, bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ.

b. Đặt (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 = f(x)

  • TH1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)
  • TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
  • Để bất phương trình f(x) > 0 có nghiệm đúng với mọi x, ta cần giải hệ sau:
    • a > 0 (với a = m – 1)
    • Δ = b² – 4ac > 0 (với a = m – 1, b = m – 3, c = 4)
  • Từ đó, ta có: m – 1 > 0 và m² – 6m + 7 > 0
  • Giải hệ này ta được: m > 1 và m ∈ (11 – 4√6; 11 + 4√6)
  • Vậy với m ∈ (11 – 4√6; 11 + 4√6), bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ.