Bất đẳng thức cosi, còn được gọi là bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, có tên chuẩn quốc tế là AM-GM. Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh, nhưng phương pháp chứng minh quy nạp của Cauchy là phổ biến nhất. Do đó, nhiều người lầm tưởng rằng Cauchy đã phát hiện ra và đặt tên cho bất đẳng thức này. Tuy nhiên, thông tin dưới đây sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và các kỹ thuật để giải quyết các bài tập liên quan đến bất phương trình cosi.

1. Bất phương trình Cosi

a) Dạng tổng quát:

Bất đẳng thức cosi

b) Dạng cụ thể:

Công thức bất đẳng thức cosi

2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi

Để hiểu và sử dụng thành thạo một bất đẳng thức cổ điển nào đó trong việc chứng minh các bất đẳng thức, điều quan trọng nhất không phải là học thuộc công thức và các tính chất của nó. Mà chính là ứng dụng các kỹ thuật riêng biệt của bất đẳng thức đó sao cho hợp lý và logic. Dưới đây là một số kỹ thuật hay sử dụng bất đẳng thức cosi trong tài liệu:

  • 2.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
  • 2.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo
  • 2.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi
  • 2.4. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
  • 2.5. Nhân thêm hằng số khi đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
  • 2.6. Ghép đối xứng
  • 2.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số
  • 2.8. Kỹ thuật đổi biến số

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi

3. Ứng dụng bất đẳng thức cosi để giải phương trình và hệ phương trình

Ứng dụng bất đẳng thức cosi
Ứng dụng bất đẳng thức cosi
Ứng dụng bất đẳng thức cosi
Ứng dụng bất đẳng thức cosi

4. Bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

  • Bài 1: Chứng minh rằng [({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}})({{c}^{2}}+{{a}^{2}}) ≥ 8{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}], với mọi a, b, c.
  • Bài 2: Chứng minh rằng [{{(sqrt{a}+sqrt{b})}^{8}} ≥ 64ab{{(a+b)}^{2}}], với mọi a, b ≥ 0.
  • Bài 3: Chứng minh rằng [(1+a+b)(a+b+ab) ≥ 9ab], với mọi a, b ≥ 0.
  • Bài 4: Chứng minh rằng [3{{a}^{3}}+6{{b}^{3}} ≥ 9a{{b}^{2}}], với mọi a, b ≥ 0.
  • Bài 5: Chứng minh rằng [(a+b)(1+ab) ≥ 4ab], với mọi a, b ≥ 0.
  • Bài 6: Chứng minh rằng [frac{1}{a}+frac{1}{b} ≥ frac{4}{a+b}], với mọi a, b > 0.
  • Bài 7: Chứng minh rằng [a+b+c ≥ sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}], với mọi a, b, c ≥ 0.
  • Bài 8: Chứng minh rằng [{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} ≥ abc(a+b+c)], với mọi a, b, c.
  • Bài 9: Chứng minh rằng [(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) ≥ 16abc], với mọi a, b, c ≥ 0.
  • Bài 10: Chứng minh rằng [a+b+c ≤ frac{1}{2}left( {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a+frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} right)], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 11: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{4}}}{b}+frac{{{b}^{4}}}{c}+frac{{{c}^{4}}}{a} ≥ 3abc], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 12: Chứng minh rằng [aleft( frac{a}{2}+frac{1}{bc} right)+bleft( frac{b}{2}+frac{1}{ca} right)+cleft( frac{c}{2}+frac{1}{ab} right) ≥ frac{9}{2}], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 13: Chứng minh rằng [{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} ≥ {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 14: Chứng minh rằng [{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{3}}{{c}^{3}}+{{c}^{3}}{{a}^{3}} ≥ abcleft( a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}} right)], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 15: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}+frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}+frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{3}}} ≥ frac{{{a}^{2}}}{bc}+frac{{{b}^{2}}}{ac}+frac{{{c}^{2}}}{ab}], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 16: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{5}}}{{{b}^{2}}}+frac{{{b}^{5}}}{{{c}^{2}}}+frac{{{c}^{5}}}{{{a}^{2}}} ≥ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 17: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{2}}c}+frac{{{b}^{4}}}{{{c}^{2}}a}+frac{{{c}^{4}}}{{{a}^{2}}b} ≥ a+b+c], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 18: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{5}}}{b{{c}^{2}}}+frac{{{b}^{5}}}{c{{a}^{2}}}+frac{{{c}^{5}}}{a{{b}^{2}}} ≥ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 19: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{4}}}{a+b}+frac{{{b}^{4}}}{b+c}+frac{{{c}^{4}}}{c+a} ≥ frac{a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}}{2}], với mọi a, b, c > 0.
  • Bài 20: Chứng minh rằng [frac{{{a}^{6}}}{{{b}^{2}}c}+frac{{{b}^{6}}}{{{c}^{2}}a}+frac{{{c}^{6}}}{{{a}^{2}}b} ≥ {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a], với mọi a, b, c > 0.

Vậy là chúng ta đã tìm hiểu một số bài tập và kỹ thuật liên quan đến bất đẳng thức cosi. Để đạt kết quả cao trong việc giải các dạng toán liên quan đến bất đẳng thức, bạn cần có nền tảng kiến thức vững chắc về biến đổi đại số. Ngoài ra, việc ghi nhớ các bất đẳng thức và kỹ thuật sử dụng cũng rất quan trọng trên con đường chinh phục bất đẳng thức. Bất đẳng thức cosi là một bất đẳng thức dễ nhớ, nhưng độ ảnh hưởng và tầm quan trọng của nó rất lớn. Vì vậy, nếu bạn có ý định thi học sinh giỏi, thì không thể bỏ qua bất đẳng thức siêu kinh điển này.

Xem thêm: Bất đẳng thức vecto