cac-cach-chung-minh-3-diem-thang-hang

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một dạng toán khá khó nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi và đôi khi gây khó khăn cho nhiều em học sinh trong quá trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Chính vì thế, Trường trực tuyến gửi tới các bạn học sinh các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay và được sử dụng thông dụng nhất. Hãy cùng tìm hiểu.

1. Khái niệm 3 điểm thẳng hàng là gì?

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

2. Mối quan hệ của 3 điểm thẳng hàng

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng. Chỉ có một và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kỳ.

3. Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

cac-cach-chung-minh-3-diem-thang-hang
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
  • Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cần chứng minh thuộc hai cạnh là hai tia đối nhau.
  • Ba điểm cần chứng minh thuộc cùng một tia hoặc một đường thẳng bất kỳ.
  • Hai đoạn thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cần chứng minh cùng song song với một đường thẳng thứ 3.
  • Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 nào đó.
  • Đường thẳng đi qua 2 điểm cũng đi qua điểm thứ 3.
  • Áp dụng tính chất của đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hay tính chất ba đường cao trong tam giác.
  • Áp dụng các tính chất của hình bình hành.
  • Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn.
  • Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh.
  • Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
  • Chứng minh diện tích tam giác của 3 điểm bằng 0.
  • Áp dụng tính chất sự đồng quy của các đoạn thẳng.

4. Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường được áp dụng nhất

4.1. Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kỳ: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng.

4.2. Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A, B, C thẳng hàng.

4.3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a và đoạn thẳng AC ⊥ a, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng. Điều này được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất chỉ có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. Hoặc có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất A, B, C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng (điều này nằm trong chương trình toán học lớp 7).

4.4. Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng. Điều này được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác. Hoặc có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất: Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

4.5. Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K, ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng. Điều này được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm.

4.6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác. Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng. Bên cạnh đó, các bạn học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.

4.7. Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng). Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

5. Một số bài tập luyện tập các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các bạn học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).

Trên đây là toàn bộ kiến thức về lý thuyết, phương pháp và một số bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Hy vọng với bài viết này sẽ hỗ trợ các bạn học sinh có thêm các phương án giải khi gặp về dạng bài tập này.