cac-cach-chung-minh-tam-giac-dong-dang

Tam giác đồng dạng, một dạng bài xuất hiện thường xuyên trong đề thi học kì môn Toán lớp 9 và trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán. Đây là dạng bài khiến rất nhiều em học sinh gặp khó khăn. Với mong muốn giúp đỡ các em học sinh vượt qua dạng bài này, Trường trực tuyến sẽ chia sẻ các cách chứng minh tam giác đồng dạng. Hãy cùng chúng tôi khám phá nhé!

1. Các trường hợp tam giác đồng dạng

1.1. Trường hợp đồng dạng số 1: 2 tam giác có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (cạnh – cạnh – cạnh)

Xét 2 tam giác ∆ABC và ∆DEF, ta có các tỉ số:

  • AB/DE = BC/EF = AC/DF
    => Ta có thể kết luận: ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

1.2. Trường hợp đồng dạng số 2: 2 tam giác có 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

Xét ∆ABC và ∆DEF, ta có các tỉ số:

  • AB/DE = AC/DF
  • Góc BAC = góc EDF
    => Ta có thể kết luận: ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

1.3. Trường hợp đồng dạng số 3: 2 tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau (góc – góc)

Xét ∆ABC và ∆DEF, ta có:

  • Góc ABC = Góc DEF
  • Góc BAC = Góc EDF
    => ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

2. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

2.1. Định lí của 2 tam giác vuông số 1: (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Nếu 2 tam giác vuông thỏa mãn điều kiện: cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này có cùng tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông này đồng dạng với nhau.

Định lí của 2 tam giác vuông số 2: (hai cạnh góc vuông)

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt có cùng tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Định lí của 3 tam giác vuông số 3: (góc)

Nếu một trong 2 góc nhọn của tam giác này bằng một trong 2 góc nhọn của tam giác kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

3. Một số dạng bài và phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng

3.1. Dạng 1: Chứng minh 2 tam giác đồng dạng bằng cách sử dụng hệ thức

Bài tập số 1: Cho ∆ABC (điều kiện độ dài cạnh AB < AC), có đoạn thẳng AD là đường phân giác trong. Tại miền ngoài ∆ABC ta có góc BCx = góc BAD, vẽ tia Cx sao cho . Gọi điểm I là giao điểm của đường thẳng Cx và đường thẳng đi qua 2 điểm A, D. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh 2 tam giác: ∆ADB đồng dạng ∆CDI.
b) Chứng minh rằng: AD/AC = AB/AI
c) Chứng minh rằng AD² = AB.AC – BD.DC

he-thuc-chung-minh-2-tam-giac-dong-dang
Chứng minh 2 tam giác đồng dạng bằng cách sử dụng hệ thức

Hướng dẫn giải:
a) Xét 2 tam giác ∆ADB và ∆CDI,
ta có:
Góc BCx = góc BAD (theo giả thuyết)
Góc D1 = Góc D2 (đối đỉnh)
=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) Xét 2 tam giác ∆ABD và ∆AIC,
ta có:
Góc B = Góc I (do ∆ADB đồng dạng với tam giác ∆CDI)
Góc A1 = góc A2 (AD là phân giác)
=> Ta có: ∆ABD ~ ∆AIC => Vậy tỉ số AD/AC = AB/AI

c) Từ kết quả của câu b ta có: AD.AI = AB.AC (1)
Ta có: ∆ADB ~ ∆CDI => ta có AD.DI = BD.CD (2)
Từ hệ quả (1) và (2): AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD²
Vậy AD² = AB.AC – BD.CD

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ, có đường cao AH. Hãy chứng minh các hệ thức sau:
a. Chứng minh rằng AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
b. Chứng minh rằng AB2 +AC2 = BC2
c. Chứng minh rằng AH2 = BH.CH
d. Chứng minh rằng AH.BC = AB.AC

chung-minh-2-tam-giac-dong-dang-bang-he-thuc

Hướng dẫn giải:
a. Xét hai tam giác ∆ABC và ∆ HAC, ta có:
Góc BAC = góc AHC = 90 độ
Góc C là góc chung
=> Vậy tam giác ∆ABC ~ ∆HAC (theo định lý g – g trong tam giác vuông)
Vậy AC/HC = BC/AC
=> AC2 = CH.BC (1)
Chứng minh theo phương pháp tương tự ta có : AB2 = BH.BC (2)

b. Từ (1) và (2) ta vừa chứng minh ở trên ta có, ta có :
AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

c. Xét hai 2 tam giác ∆HBA và ∆HAC, ta có :
Góc BHC = góc AHC = 90 độ
Góc ABH = góc HAC cùng phụ góc BAH
=> Vậy ta có thể kết luận ∆HBA ~ ∆HAC (theo tính chất g – g trong tam giác vuông)
=> HA/HC = HB/HA
Vậy suy ra: AH2 = BH.CH

d. Ta có do ∆ABC ~ ∆HAC
=> HA/AB = AC/BC
Vậy suy ra: HA.BC = AB.AC

3.2. Dạng 2 : Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song

Bài toán: Cho ∆ABC là tam giác nhọn. Vẽ 2 đường cao được vẽ từ các đỉnh B và C lần lượt là BD và CE. Lần lượt vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Yêu cầu:
a) Hãy chứng minh rằng ∆ABD ~ ∆AEG.
b) Hãy chứng minh rằng AD.AE = AB.AG = AC.AF
c) Hãy chứng minh rằng FG // BC

dinh-ly-talet

Hướng dẫn giải:
a) Xét ∆ABD và ∆AEG,
ta có :
BD // AC (BD là đường cao)
EG // AC (EG là đường cao)
=> BD // EG
=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) Ta có AB/AE = AD/AG
=> AD.AE = AB.AG (1)
Chứng minh tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)
Từ dữ kiện (1) và (2) ta suy ra : AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) Xét ∆ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (chứng minh theo câu b) => FG // BC (theo định lí đảo talet)

3.3. Dạng 3: Phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Yêu cầu:
a) Chứng minh rằng ∆HBE đồng dạng ∆HCE.
b) Chứng minh rằng ∆HED đồng dạng ∆HBC và góc HDE = góc HAE
c) Biết rằng BD = CD. Gọi điểm M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: DE vuông góc EM.

chung-minh-2-tam-giac-dong-dang-qua-goc-bang-nhau

Hướng dẫn giải:
a) Xét 2 ∆HBE và ∆HCD ta có :
Góc BEH = góc CDG = 90 độ (Theo giả thuyết)
Góc H1 = góc H2 (đối đỉnh)
Suy ra ta có ∆HBE ~ ∆HCD (theo tính chất g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :
HE/HD = HB/HC (do ∆HBE ~ ∆HCD)
=> HE/HB = HD/HC
Mà ta có góc EHD = góc CHB (đối đỉnh)
=> Tam giác ∆HED ~ ∆HBC (do tính chất c – g – c)
=> Góc D1 = góc C1 (1)
Mà: Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (theo giả thuyết)
=> Điểm H là điểm trực tâm. => AH vuông góc BC tại M.
=> góc A1 + góc ABC = 90 độ
Mặt khác ta có:
góc C1 + góc ABC = 90 độ (2)
=> Từ dữ kiện (1) và (2) ta có: góc A1 = D1
Hay: góc HDE = góc HAE

c) Chứng minh tương tự câu b, ta có: góc A2 = E2 (3)
Xét ∆BCD, ta có : DB = DC (theo giả thuyết)
=> ∆BCD là tam giác cân tại D => góc B1 = góc ACB
Mà: góc B1 = góc E1 (do ∆HED ~ ∆HBC)
=> Góc E1 = góc ACB
Mà: góc A2 + góc ACB = 90 độ
Góc A2 = góc E2 (chứng minh trên)
=> Góc E1 + góc E2 = 90 độ
=> Góc DEM = 90 độ
=> ED vuông góc với EM.

Trên đây là các cách chứng minh tam giác đồng dạng mà các bạn học sinh cần phải nắm được. Hy vọng với bài viết trên của Trường trực tuyến sẽ giúp các em học sinh có thêm kiến thức cần thiết cũng như đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới.