cac-cach-chung-minh-trung-diem

Bạn đang học chương trình toán Trung học Cơ sở và quan tâm đến đề tài chứng minh trung điểm? Đúng chỗ rồi đấy! Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm trung điểm là gì và các cách chứng minh trung điểm đối với từng lớp học khác nhau. Hãy cùng Trường trực tuyến tìm hiểu nhé!

cac-cach-chung-minh-trung-diem
5 cách chứng minh trung điểm

1. Trung điểm là gì?

Trung điểm (M) của một đoạn thẳng (AB) là điểm nằm giữa (A, B) và cách đều (A, B), tức là (MA = MB). Trung điểm của đoạn thẳng (AB) còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng (AB).

Chú ý: Điểm (M) nằm giữa hai điểm (A, B) <=> (MA + MB = AB).

2. Các cách chứng minh trung điểm phổ biến

Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng, chúng ta cần sử dụng các tính chất hình học liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách chứng minh trung điểm cơ bản.

2.1. Chứng minh trung điểm theo định nghĩa

Để chứng minh điểm (M) là trung điểm của đoạn thẳng (AB), ta cần chứng minh đồng thời (M) nằm giữa (A, B) và (MA + MB).

Ví dụ:
Cho đoạn thẳng (AB = 8cm) có (M) là trung điểm (AB). Trên (AB) lấy hai điểm (C, D) sao cho (AC = BD = 3cm). Chứng minh (M) là trung điểm (CD).

chung-minh-trung-diem-theo-dinh-nghia

Cách giải:

Vì (M) là trung điểm (AB) nên (MA = MB = 4cm).

Vì (M, C) cùng phía với (A) mà (AM > AC) nên (C) nằm giữa (AM).

<=> MC = MA – CA = 1cm

Tương tự ta có (MD = 1cm)

Mặt khác: (CD = AB – AC – BD = 2cm)

Như vậy ta có:

  • MC = MD = 1cm
  • MC + MD = CD

<=> M là trung điểm CD.

2.2. Chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác

Để chứng minh theo cách này, trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.

chung-minh-trung-diem-dua-vao-tinh-chat-tam-giac

Cho tam giác (ABC) với (M, N, P) lần lượt là trung điểm của (BC, CA, AB).
Khi đó:
(AM, BN, CP) lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh (BC, CA, AB). 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm (G) được gọi là trọng tâm của tam giác (ABC). 3 đoạn thẳng (MN, NP, PM) được gọi là các đường trung bình của tam giác (ABC).

  • Tính chất trọng tâm: Nếu (G) là trọng tâm tam giác (ABC) thì (AG, BG, CG) lần lượt đi qua trung điểm của (BC, CA, AB). Đồng thời: AG/AM=BG/BN=CG/CP=23
  • Tính chất đường trung bình: Nếu (MN) là đường trung bình của tam giác (ABC) thì (MN) song song và bằng 1/2 cạnh đáy tương ứng.

Ví dụ:
Cho tam giác (ABC) có (AB > BC). (BE) là phân giác và (BD) là trung tuyến. Đường thẳng qua (C) vuông góc với (BE) cắt (BE, BD, BA) lần lượt tại (F, G, K). (DF) cắt (BC) tại (M). Chứng minh rằng: (M) là trung điểm đoạn (BC).

Cách giải:
Xét tam giác BCK có:
(BF) vừa là đường cao, vừa là phân giác nên (Delta BCK) cân tại (B)
<=> BC = BK và BF là trung tuyến
<=> CF = FK

Xét tam giác CKA có:
(CF = FK ; CD = DA) <=> FD là đường trung bình
<=> FD // AB <=> MD // AB

Mà (CD = DA) nên <=> CM/CB = CD/CA = 1/2

<=> M là trung điểm BC.

2.3. Cách chứng minh dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau:

  • Đường trung bình hình thang

Cho hình thang (ABCD) hai đáy là (AB, CD). Khi đó (MN) được gọi là đường trung bình của hình thang (ABCD)

⇔ MN∥AB
MN=(AB+CD)/2 và M,N là trung điểm của AB,BC

chung-minh-dua-vao-tinh-chat-tu-giac

  • Đường chéo hình bình hành

Cho hình bình hành (ABCD) với hai đường chéo (AC, BD). Khi đó (AC) cắt (BD) tại trung điểm của mỗi đoạn.

Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên.

Ví dụ:

Cho hình bình hành (ABCD) với (I) là giao điểm của (AC, BD). Lấy (M) là điểm bất kì nằm trên (CD). (MI) cắt (AB) tại (N). Chứng minh rằng (I) là trung điểm (MN).

Cách giải:

Vì (ABCD) là hình bình hành mà (I) là giao điểm của hai đường chéo nên ta có: (DI = MI)

Xét (Delta DIM) và (Delta BIN) có:

Góc DIM = Góc BIN} (hai góc đối đỉnh)

(DI = BI) (chứng minh trên)

Góc MDI  = Góc NBI  (hai góc so le trong)

Vậy => Góc DIM = Góc BIN (góc – cạnh – góc)

Vậy => Góc IN = IM hay I là trung điểm MN.

2.4. Chứng minh dựa vào các tính chất của đường tròn

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn:

Cho đường tròn tâm (O) đường kính (AB). (MN) là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu (AB bot MN Rightarrow) (AB) đi qua trung điểm của (MN) và ngược lại, nếu (AB) đi qua trung điểm của (MN) thì (AB bot MN).

chung-minh-dua-vao-tinh-chat-duong-tron

Ví dụ:

Cho tam giác (ABC) nhọn ((AB < AC)) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại (A) và (B) của (O) cắt nhau tại (M). Kẻ cát tuyến (MPQ) của (O) ((P) nằm giữa (M) và (Q)) song song với (BC) cắt (AC) tại (E). Chứng minh rằng (E) là trung điểm (PQ).

Cách giải:

Vì MA, MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn (O) nên => MA = MB.

Xét tam giác MAO và tam giác MBO có:

(MA = MB) (chứng minh trên)

(MO) chung

(OA = OB) (bán kính (O))

Vậy tam giác MAO = tam giác MBO (cạnh – cạnh – cạnh)

=> Góc MOA = Góc MOB

Vì PQ∥BC⇒ Góc MEA = Góc BCA ( đồng vị ) (đồng vị)

Mà Góc BCA = Góc AOB/2 => Góc MEA = GócAOB/2

Từ (1)(2) Góc MEA = Góc MOA

=> Tứ giác (MOEA) nội tiếp

Góc MEO = Góc MAO = 90 độ (do MA là tiếp tuyến)

=> EO vuông góc với dây cung PQ

=> E là trung điểm PQ.

2.5. Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

  • Đối xứng trục

Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB vuông góc với d và d đi qua trung điểm của AB.

  • Đối xứng tâm

Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.

Đối xứng là một phương pháp chứng minh trung điểm khá đơn giản và hiệu quả. Tùy theo đề bài, chúng ta có thể áp dụng đối xứng trục hoặc đối xứng tâm để chứng minh trung điểm.

Bài viết trên đây đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề chứng minh trung điểm cũng như các cách chứng minh trung điểm phù hợp với từng đối tượng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết của Trường trực tuyến sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt!