cac-cong-thuc-cua-cap-so-cong

Bạn đang học Toán THPT và muốn hiểu rõ về cấp số cộng và cấp số nhân? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những các công thức của cấp số cộng, cấp số nhân và bài tập vận dụng.

cac-cong-thuc-cua-cap-so-cong
Công thức cấp số cộng

1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số trong chương trình toán THPT, có điều kiện đặc biệt. Số thứ hai trong dãy số đó là tích của số đứng trước với một số không đổi, được gọi là công bội. Cấp số nhân có định nghĩa như sau:

  • Un là số thứ n trong dãy số cấp số nhân, thỏa mãn un+1 = un * q, với n là số nguyên dương.
  • q là công bội và được tính bằng q = un+1 / un.

Để tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta sử dụng công thức sau:
un = u1 * q^(n-1).

1.2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà số đứng sau bằng tổng của số đứng trước và một số không đổi gọi là công sai. Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Định nghĩa của cấp số cộng như sau:

  • Un là số thứ n trong dãy số cấp số cộng nếu un+1 = un + d.
  • Dãy số cấp số cộng có số hạng tổng quát được tính bằng un = u1 + (n-1)d.

2. Tổng hợp các công thức của cấp số cộng và cấp số nhân

Các công thức cấp số cộng và cấp số nhân rất dễ ghi nhớ, và chúng liên quan đến giá trị đặc trưng của hai loại dãy số này.

2.1. Công thức cấp số cộng

Công thức cấp số cộng tổng quát là: un = um + (n-m)d.

Chúng ta có thể tính số hạng thứ hai trở đi của cấp số cộng bằng cách lấy trung bình cộng của hai số hạng liền kề nó. Ví dụ: Nếu số hạng thứ bảy là 100 và công sai là 2, thì số hạng thứ hai của cấp số cộng là: u2 = u7 + (2 – 7)d = 100 – 5 * 2 = 90.

Ta cũng có hai công thức để tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

  • Số hạng tổng quát của cấp số cộng: S_n = n(u1 + u_n) / 2.
  • Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: S_n = n/2 * (u1 + u_n).

2.2. Công thức cấp số nhân

Công thức cấp số nhân là: un = um * q^(n-m).

Ví dụ: Nếu số hạng thứ tám của cấp số nhân là 32 và công bội là 2, thì ta có thể tính số hạng thứ năm của cấp số nhân như sau: u5 = u8 q^(5-8) = 32 2^(-3).

Ta cũng có công thức để tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

  • Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là: S_n = u1 * (1 – q^n) / (1 – q).

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân

Bên dưới là một số bài tập liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân, cùng với lời giải chi tiết.

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 20 và tổng các bình phương của chúng là 120.

Trường trực tuyến hy vọng mang đến cho bạn những kiến thức bổ ích và giúp bạn ôn thi thành công. Hãy đăng ký ngay khóa học DUO 11 để đạt kết quả cao trong kì thi THPT quan trọng này.