cac-cong-thuc-luy-thua

Lũy thừa của lũy thừa là một khái niệm khá phức tạp và khó nhằn đối với học sinh. Tuy nhiên, nếu bạn nắm vững định nghĩa và các công thức lũy thừa, bạn có thể dễ dàng áp dụng chúng trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Hãy cùng Trường trực tuyến điểm qua những thông tin cơ bản về lũy thừa của lũy thừa.

cac-cong-thuc-luy-thua
Công thức lũy thừa cơ bản

1. Lý thuyết về lũy thừa

1.1. Định nghĩa lũy thừa là gì?

Lũy thừa là một phép toán toán học thực hiện trên hai số: cơ số a và số mũ b. Kết quả của phép toán lũy thừa là tích của n thừa số a nhân với nhau. Đơn giản nói, lũy thừa là tích của một số với chính nó nhiều lần.

Lũy thừa được ký hiệu là a^b, đọc là lũy thừa bậc b của a hay a mũ b. Trong đó, a là cơ số và b là số mũ.

1.2. Phân loại lũy thừa

Luỹ thừa có thể được phân loại thành ba dạng chính: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ thực. Mỗi dạng có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt.

  • Dạng 1: Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương và a là một số thực tuỳ ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Định nghĩa này cũng tương tự như định nghĩa chung về lũy thừa. Công thức tổng quát như sau: (n thừa số a)
  • Dạng 2: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Cho số thực dương a và số hữu tỉ r, lũy thừa của số a với số mũ r là số a^r được xác định bởi công thức: a^r = √a^(p/q). Đây là công thức đặc biệt khi r = p/q.
  • Dạng 3: Lũy thừa với số mũ thực: Cho a và b là hai số dương, x và y là hai số thực, ta có các tính chất như sau:
    1. ax.ay = ax + y
    2. ax : ay = ax – y
    3. (ax)y = axy
    4. (ab)x = ax⋅bx
    5. a^x > 0, nếu a > 0 và a ≠ 1
    6. a^x = a^y, nếu và chỉ nếu x = y
    7. Với x < y và 0 < a < 1, ta có a^x > a^y
    8. Với 0 < a < b và m là một số nguyên dương, ta có a^m < b^m. Nếu m là một số nguyên âm, ta có a^m > b^m.

1.3. Tính chất và công thức lũy thừa cơ bản

Các tính chất của lũy thừa góp phần không nhỏ trong việc biến đổi và so sánh lũy thừa trong các bài tập cụ thể. Dưới đây là một số tính chất quan trọng:

  • Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0, b ≠ 0, m, n ∈ R, ta có:
    • a^m⋅a^n = a^(m+n)
    • a^m/a^n = a^(m-n)
    • (a^m)^n = a^(m⋅n)
    • (a⋅b)^n = a^n⋅b^n
    • (a/b)^n = a^n/b^n (với b ≠ 0)
    • a^0 = 1 (với a ≠ 0)
  • Tính chất về bất đẳng thức:
    • So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
      • Với a > 1 thì a^m > a^n > 0
      • Với 0 < a < 1 thì a^m < a^n
    • So sánh cùng số mũ:
      • Với số mũ dương n > 0: a^m > a^n > 0
      • Với số mũ âm, ta có a^m > a^n.

Các công thức lũy thừa cơ bản giúp bạn biến đổi các phép tính lũy thừa dễ dàng và nhanh chóng:

  • an = a⋅a⋅a…..a (n thừa số a)
  • a^0 = 1

Ngoài ra, còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt như:

  • Luỹ thừa của số e: Số e là một hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn, và hàm e^x được định nghĩa bởi công thức e^x = lim((1+x/n)^n) khi n tiến tới vô cùng.
  • Hàm luỹ thừa với số mũ thực: Hàm luỹ thừa với số mũ thực được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit tự nhiên ln(x) thay cho giới hạn của các số hữu tỉ.

2. Lũy thừa của lũy thừa

2.1. Luỹ thừa của một lũy thừa là gì?

Luỹ thừa của một luỹ thừa là một biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa được ký hiệu là (a^n)^m.

2.2. Công thức lũy thừa của lũy thừa

Theo định nghĩa trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:

(a^n)^m = a^(n⋅m)

2.3. Ứng dụng công thức lũy thừa của lũy thừa vào các bài toán

Để thực sự thành thạo các bài toán liên quan đến luỹ thừa của luỹ thừa, Trường trực tuyến đã tổng hợp một bộ tài liệu với các dạng bài tập áp dụng công thức biến đổi luỹ thừa của một luỹ thừa. Bạn có thể tải tài liệu chi tiết theo link sau.

Trên đây là những kiến thức cần ghi nhớ về lũy thừa và các công thức lũy thừa cơ bản. Đừng quên truy cập Trường trực tuyến để có thêm nhiều bài viết bổ ích khác về môn Toán bạn nhé!