cac-cong-thuc-trong-tam-giac-thuong

Trong bài viết này, mình sẽ điểm lại những kiến thức về các công thức trong tam giác thường, vuông, cân để giúp các bạn củng cố kiến thức và dễ dàng áp dụng vào việc giải bài tập.

cac-cong-thuc-trong-tam-giac-thuong
Hệ thức trong tam giác

1. Các công thức trong tam giác thường

1.1. Định lý Cosin

Trong một tam giác bất kỳ, ta có định lý cosin, cho phép tính bình phương của một cạnh dựa trên tổng bình phương của hai cạnh còn lại và góc xen giữa chúng. Cụ thể:

  1. a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
  2. b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;
  3. c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.
dinh-ly-cosin
Định lý Cosin

1.2. Định lý Sin

Trong tam giác ABC, ta có tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Công thức là:

  • a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R,

trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

dinh-ly-sin
Định lý Sin

1.3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có:

  • ma2 = [2(b2 + c2) – a2]/4,
  • mb2 = [2(a2 + c2) – b2]/4,
  • mc2 = [2(a2 + b2) – c2]/4.
do-dai-duong-trung-tuyen
Công thức tính độ dài đường trung tuyến

1.4. Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng một trong các công thức sau:

  • S = 1/2 absinC = 1/2 bcsinA = 1/2 casinB,
  • S = abc/4R,
  • S = pr,
  • S = √p(p – a)(p – b)(p – c) (công thức hê – rông).

2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

2.1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông ABC, góc A bằng 90 độ, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h. Ta có:

  • BH = c’ (hình chiếu của AB xuống BC),
  • CH = b’ (hình chiếu của AC xuống BC).

Khi đó, ta có:

  • c2 = a.c’ (AB2 = BH.BC),
  • b2 = a.b’ (AC2 = CH.BC),
  • h2 = b’.c’ (AH2 = CH.BH),
  • b.c = a.h (AB.AC = AH.BC),
  • 1/h2 = 1/b2 + 1/c2 (1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2),
  • b2 + c2 = a2(AB2 + AC2 = BC2) (Định lý Pytago).
he-thuc-luong-tam-giac-vuong
Hệ thức lượng về cạnh và đường cao của tam giác vuông

2.2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

a. Định nghĩa:

  • sinα = cạnh đối chia cho cạnh huyền,
  • cosα = cạnh kề chia cho cạnh huyền,
  • tanα = cạnh đối chia cho cạnh kề,
  • cotα = cạnh kề chia cho cạnh đối.

b. Định lí:

Nếu hai góc phụ nhau, thì sin góc này bằng cosin góc kia, và tang góc này bằng cotang góc kia.

c. Một số hệ thức cơ bản:

he-thuc-trong-tam-giac
Hệ thức cơ bản của tam giác

d. So sánh các tỉ số lượng giác:

Cho góc nhọn α, ta có:

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì:

  • sinα < sinβ; tanα < tanβ,
  • cosα > cosβ; cotα > cotβ.

b) sinα < tanα; cosα < cotα.

2.3. Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

Các hệ thức:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề,
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề.
  • b = a.sinB = a.cosC,
  • c = a.sinC = a.cosB,
  • b = c.tanB = c.cotC,
  • c = b.tanB = b.cotC.

2.4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó. Để giải tam giác, ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết và yếu tố chưa biết thông qua các hệ thức đã được trình bày.

Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

  • Áp dụng định lí sin để tính cạnh còn lại.

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa.

  • Áp dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba.

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh.

  • Áp dụng định lí cosin để tính góc.

Lưu ý:

  • Một tam giác có thể được giải khi biết đủ 3 yếu tố, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2).
  • Giải tam giác được áp dụng vào các bài toán thực tế, nhất là trong việc đo đạc.

3. Các dạng bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân và thường

Ví dụ 1: Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bờ sông, ông Việt sử dụng thước ngắm có góc vuông đo chiều cao của một cây dừa. Ông vạch từ điểm A đường vuông góc với AB và lấy một đoạn thẳng AC = 30 m. Sau đó, ông vạch CD vuông góc với phương BC và cắt AB tại điểm D. Ông đo được AD = 20m. Từ đó, ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB.

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC, ta có:

  • AB.AD = AC^2.

Vậy tính độ dài AB = 45 m và số đo góc ACB là 56°18′.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13.

a. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC.

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:

b. Để tính diện tích một cách chính xác nhất, ta sẽ áp dụng công thức Heron.

c. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

d. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH vuông tại H, ta có:

Vậy chiều cao của cây dừa là 16 m.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a. Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm. Tính AB, AC, BC,CH.

b. Biết AB = 6cm, BH = 3cm. Tính AH, AC, CH.

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

b. Trong tam giác vuông ABH, ta có:

Vậy AH = √27 = 5,2cm.

Hy vọng với những kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác mà mình vừa trình bày, bạn đã nắm chắc được công thức và có thể áp dụng để giải các bài tập. Nếu muốn tìm hiểu thêm, bạn có thể truy cập trang web Trường trực tuyến để khám phá nhiều kiến thức bổ ích khác. Chúc bạn thành công!