cac-dang-phuong-trinh-duong-thang

Bài viết tổng hợp các dạng phương trình đường thẳng lớp 10 và phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập và làm bài tập một cách dễ dàng.

cac-dang-phuong-trinh-duong-thang
Phương trình đường thẳng

1. Các dạng phương trình đường thẳng

1. 1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

+ Vectơ n→0→ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét : Nếu n→ là VTPT của ∆ thì k.n→(k ≠ 0) cũng là VTPT của ∆.

+ Trong mặt phẳng tọa độ; mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

ax + by + c = 0 với a2 + b2 > 0.

+ Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

– Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.

– Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy.

– Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ.

+ Đường thẳng có phương trình: = 1 ( a ≠ 0; b ≠ 0) đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b)

Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

+ Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax + by + c= 0

Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên được đưa về dạng: y= kx + m ( *)

Khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ và ( *) gọi là phương trình của ∆ theo hệ số góc.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng : ∆1 = a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 = a2x + b2y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

(I)

Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠ 0 thì :

1.2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u→0→ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét : Nếu u→ là VTCP của ∆ thì k.u→( k ≠0) cũng là VTCP của ∆.

1.3. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) và u→( a; b) là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

(1)

Hệ ( 1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆, với tham số t.

1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) và u→(a;b) (với a ≠ 0, b ≠ 0 ) là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

(2)

Phương trình ( 2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

1.5. Liên hệ giữa VTCP và VTPT

VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu ∆ có VTCP u→( a; b) thì n→( b; -a) là một VTPT của ∆.

1.6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

1.7. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M(xM; yM); N(xN; yN) không nằm trên ∆. Khi đó:

+ Hai điểm M và N cùng phía so với ∆ khi và chỉ khi:

( axM + byM + c).( axN + byN + c) > 0.

+ Hai điểm M và N khác phía so với ∆ khi và chỉ khi:

( axM + byM + c).(axN + byN + c) < 0.

1.8. Góc giữa hai đường thẳng

+ Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng là 00.

Kí hiệu: (a;b)

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:

(a; b) = ( u→; v→) nếu ( u→; v→) ≤ 900

(a; b) = 1800 – ( u→; v→) nếu ( u→; v→) > 900

Trong đó; u→v→ lần lượt là VTCP của a và b.

+ Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có VTPT n1→ = (a1; b1) và n2→ = (a2; b2) được tính theo công thức: