Dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng phương trình đường tròn và dạng bài tập thường gặp liên quan đến bài học này.

cac-dang-phuong-trinh-duong-tron
Phương trình đường tròn

1. Các dạng phương trình đường tròn

1.1. Phương trình đường tròn cơ bản

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R có thể lập được phương trình:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Chú ý rằng phương trình đường tròn với tâm chính là gốc tọa độ O và bán kính R được tính bằng x2 + y2 = R2.

1.2. Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Trong đường tròn (C) với tâm I(a; b), cho trước điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tiếp tuyến tại M0 của đường tròn (C) có phương trình:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0
phuong-trinh-tiep-tuyen-duong-tron
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Xem thêm bài viết về Phương trình tiếp tuyến đường tròn để hiểu kỹ hơn về phần này nhé!

2. Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến phương trình đường tròn

2.1. Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn

Để xác định một phương trình có phải là phương trình đường tròn không, ta có 2 cách tiếp cận:

  • Cách 1: Đưa phương trình về dạng (x – a)2 + (y – b)2 = P hoặc x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 và xác định điều kiện để P > 0 hoặc a2 + b2 – c > 0.
  • Cách 2: Giải hệ phương trình a, b, c của đường tròn từ phương trình đề cho và tính giá trị P hoặc a2 + b2 – c.

Ví dụ: Phương trình x2 + y2 – 2x – 4y + 9 = 0 không là phương trình đường tròn vì a2 + b2 – c = -4 < 0.

2.2. Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

Có 2 cách để lập phương trình đường tròn đi qua các điểm:

  • Cách 1: Xác định tọa độ của tâm I(a; b) của đường tròn và bán kính R của đường tròn. Viết phương trình của đường tròn dưới dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
  • Cách 2: Theo hệ phương trình ẩn a, b, c và giải hệ phương trình để thu được tâm I và bán kính R.

Ví dụ: Phương trình đường tròn đi qua điểm O(0; 0) với tâm I(1; -3) và bán kính R = 4 được biểu diễn như sau: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16.

2.3. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương trình của đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng là d(I, Delta) = R với I là tâm của đường tròn và d(I, Delta) là khoảng cách từ I đến đường thẳng.

Ví dụ: Phương trình đường tròn (C) với tâm I là (2;5) và nó tiếp xúc với trục hoành Ox được biểu diễn như sau: (x – 2)2 + (y – 5)2 = 25.

2.4. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Để viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, chúng ta có 2 cách:

  • Cách 1: Xác định diện tích S và nửa chu vi P của tam giác, sau đó tính bán kính r = S/P và viết phương trình dưới dạng (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
  • Cách 2: Viết phương trình của đường phân giác trong thuộc hai góc trong tam giác, tìm giao điểm giữa hai đường phân giác để xác định tâm I của đường tròn, sau đó tính khoảng cách từ tâm I tới 1 cạnh bất kỳ để thu được bán kính r.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB khi biết điểm A (4; 0) và B (0; 6). Kết quả là (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4.

2.5. Xác định vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng, ta xem xét khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng. Nếu khoảng cách này lớn hơn bán kính đường tròn, đường tròn và đường thẳng không tiếp xúc hay cắt nhau. Ngược lại, nếu khoảng cách này bằng bán kính đường tròn, đường tròn và đường thẳng tiếp xúc tại 1 điểm duy nhất. Nếu khoảng cách này nhỏ hơn bán kính đường tròn, đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm, ta sử dụng phương trình đường tròn và tính toán bằng các bước sau:

  • Xác định điểm M(x0, y0) là điểm tiếp tuyến trên đường tròn.
  • Tính đạo hàm của đường tròn tại điểm M để tìm được hệ số góc của tiếp tuyến.
  • Sử dụng đạo hàm và điểm M để viết phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(3; 4) có phương trình là 2x + 2y – 14 = 0.

3. Bài tập luyện tập về phương trình đường tròn

Câu 1: Xác định toạ độ của tâm và bán kính của một đường tròn có phương trình 4x2 + 4y2 – 4x + 8y – 59 = 0.

Lời giải: Giả sử tâm của đường tròn là I(a; b) và bán kính R, ta có phương trình đường tròn được viết lại thành x2 + y2 – x + 2y – 59/4 = 0. So sánh với định dạng chung, ta có hệ phương trình sau:

a = -1/2
b = 1
c = -59/4

Từ đó, ta tính được toạ độ của tâm I và bán kính R của đường tròn.

Câu 2: Xác định phương trình của một đường tròn dựa trên các phương trình sau:

a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0

b) 2x2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0

Lời giải:
a) Đường tròn không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 – c > 0, do đó phương trình không là phương trình đường tròn.

b) Tính toán giá trị của a, b, c, và kiểm tra điều kiện a2 + b2 – c > 0. Nếu điều kiện này được thoả mãn, phương trình là phương trình của đường tròn.

Câu 3: Cho đường cong (Cm) có phương trình x2 + y2 – 2mx – 4(m-2)y + 6-m = 0.

a) Tìm điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn.

b) Nếu phương trình là phương trình đường tròn, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính.

Lời giải:
a) Để phương trình là phương trình đường tròn, ta cần m2 – 3m + 2 > 0. Từ đó, ta xác định được khoảng giá trị của m.

b) Với m ở khoảng giá trị được xác định ở phần a), ta tính toạ độ của tâm I và bán kính R của đường tròn.