cac-dang-toan-xac-suat-thi-dai-hoc

Tổ hợp xác suất là một phần kiến thức “khó nhằn” trong chương trình Toán Đại số cấp 3. Đối với nhiều người học, dạng toán này gây khó khăn vì yêu cầu phải ghi nhớ nhiều quy tắc và giải nhiều dạng bài tập liên quan. Để giúp các bạn học sinh dễ hiểu và nắm rõ về các dạng toán xác suất thi đại học, cũng như biết cách giải bài tập một cách nhanh chóng và chính xác, Trường trực tuyến xin chia sẻ bài viết dưới đây.

1. Các dạng toán xác suất thi đại học

Dưới đây là một số quy tắc tổ hợp xác suất mà các bạn cần thuộc nằm lòng để có thể áp dụng giải bài tập xác suất hiệu quả.

cac-dang-toan-xac-suat-thi-dai-hoc
Các dạng bài toán xác toán xác suất

1.1. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng định nghĩa công việc cụ thể có thể được thực hiện theo 2 phương án khác nhau là A và B. Nếu phương án A có m cách thức thực hiện và phương án B có n cách thức thực hiện và không có sự trùng lặp với bất kỳ cách thức nào trong phương án A, ta sẽ khẳng định được rằng công việc đó có m + n cách thực hiện.

Công thức của quy tắc cộng là:

|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = |A1| + |A2| + ⋯ + |An|

1.2. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân định nghĩa một công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Trong trường hợp công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách như vậy có n cách thực hiện trong công đoạn B, ta kết luận được rằng công việc đó sẽ có m.n cách thực hiện.

Công thức của quy tắc nhân là:

|A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An | = |A1|.|A2|…|An|

1.3. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc, thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Mở rộng quy tắc cộng xác suất cho k biến cố A1, A2, A3, …, Ak đôi một xung khắc:

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(Ak)

Giả sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử cụ thể, lúc đó: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

1.4. Quy tắc nhân xác suất

Hai biến cố A và B sẽ độc lập nhau khi và chỉ khi sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không gây ra những ảnh hưởng đến xác suất của B. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

2. Các dạng bài tập tổ hợp xác suất và cách giải

Để giúp các bạn học sinh hình dung được cách áp dụng các quy tắc tính xác suất vào giải bài tập tổ hợp xác suất, chúng tôi xin chia sẻ một số dạng bài thường gặp về xác suất.

2.1. Dạng 1: Đếm số phương án

Để có thể đếm số phương án của công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H thành các giai đoạn H1, H2, …, Hn và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn Hi (i = 1, 2, …, n).

Trên thực tế, ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T. Để giải bài toán này, ta thường áp dụng hai cách sau:

Cách 1: Đếm trực tiếp

  • Nhận xét đề bài để từ đó, phân chia được các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
  • Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó.
  • Kết quả của bài toán sẽ được tính bằng tổng số phương án đếm trong các trường hợp trên.

Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

  • Đếm số phương án thực hiện hành động (không quan tâm liệu rằng phương án đó có thỏa tính chất T hay không).
  • Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T.
  • Khi đó, số phương án thỏa yêu cầu bài toán là hiệu số giữa số phương án thực hiện hành động và số phương án không thỏa tính chất T.

2.2. Dạng 2: Sắp xếp vị trí trong công việc và hình học

Để giải bài toán tổ hợp xác suất về sắp xếp vị trí trong công việc và hình học, bạn cần vận dụng linh hoạt quy tắc cộng, quy tắc nhân cũng như các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.

Dưới đây là một số dấu hiệu giúp bạn nhận biết dạng bài nào thì áp dụng được hoán vị, dạng bài nào áp dụng chỉnh hợp hay tổ hợp.

  1. Các dấu hiệu đặc trưng để giúp bạn nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
  • Tất cả n phần tử đều phải có mặt.
  • Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
  • Có thứ tự giữa các phần tử.
  1. Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi:
  • Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
  • K phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
  1. Khái niệm tổ hợp được áp dụng khi:
  • Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
  • Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

2.3. Dạng 3: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố

Ở dạng toán tổ hợp xác suất này, bạn sẽ áp dụng hai cách giải như sau:

Cách 1: Tính xác suất bằng quy tắc cộng

  • Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) với A và B là hai biến cố xung khắc.
  • P(A) = 1 – P(A)

Cách 2: Tính xác suất bằng quy tắc nhân

  • Chứng tỏ A và B độc lập.
  • Áp dụng công thức: P(A.B) = P(A).P(B).

2.4. Dạng 4: Tính xác suất dựa trên định nghĩa

Khi tính xác suất theo thống kê, ta áp dụng công thức:

Trong trường hợp cần tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta sử dụng công thức:

2.5. Dạng 5: Tính tổng bằng nhị thức Newton

Cuối cùng, dạng toán tổ hợp xác suất khác mà bạn cần biết đó là tính tổng bằng nhị thức Newton.

  1. Phương pháp 1: Dựa vào cách khai triển nhị thức Newton
  • Chọn những giá trị a, b thích hợp để thay vào công thức nhị thức Newton.
  1. Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng:
  • Mấu chốt của cách giải trên là tìm ra được đẳng thức đặc trưng.
  • Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

Với các dạng bài tập tổ hợp xác suất trên, chắc chắn bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức và kỹ năng trong việc áp dụng các quy tắc xác suất vào giải toán. Hy vọng rằng bài viết này của Trường trực tuyến đã giúp bạn hiểu rõ hơn về chuyên đề này và có thể áp dụng linh hoạt vào các bài tập.