cac-dang-phuong-trinh-toan-hoc

Trường trực tuyến xin gửi đến các bạn bài viết tổng hợp các loại phương trình toán học. Đây là phần lý thuyết quan trọng trong chương trình Toán học THCS. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá những kiến thức thú vị ngay thôi!

cac-loai-phuong-trinh-toan-hoc
Một số loại phương trình toán học

1. Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình

1.1. Phương trình một ẩn

Phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó A(x) được gọi là vế trái và B(x) là vế phải. Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn x thỏa mãn phương trình.

Chú ý:

  • Phương trình x = m (với m là số bất kỳ) cũng là một phương trình và đã chỉ rõ m là nghiệm duy nhất của nó.
  • Một phương trình có thể có số nghiệm là một, hai, ba,… nhưng cũng có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào. Phương trình không có nghiệm gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1:

  • 3x + 2 = 2x là phương trình với ẩn x.
  • 2y – 1 = 4(1 – y) + 3 là phương trình với ẩn y.

Ví dụ 2:

  • Phương trình x^2 = 1 có hai nghiệm lần lượt là x = 1 và x = -1.
  • Phương trình x^2 = -1 không có nghiệm.

1.2. Giải phương trình

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm, kí hiệu là S.

Ví dụ 3:

  • Phương trình x = 3 có tập nghiệm là S = {3}.
  • Tập nghiệm của phương trình vô nghiệm là S = {∅}.

1.3. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. Kí hiệu ⇔ đọc là tương đương.

Ví dụ 4:

  • x + 3 = 0 ⇔ x = -3.
  • x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

2. Các loại phương trình toán học

2.1. Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa: Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 1:

  • Phương trình 2x – 3 = 0 là phương trình bậc nhất với ẩn x.
  • Phương trình y – 4 = 2 là phương trình bậc nhất với ẩn y.

Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3 = 0

  • Ta có: x + 3 = 0
  • Chuyển hạng tử +3 từ vế trái sang vế phải ta được:
    ⇔ x = -3.

Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ví dụ 3: Giải phương trình x/2 = -2

  • Ta có: x/2 = -2
  • Nhân cả hai vế của phương trình trên với số 2 ta được:
    ⇔2.x/2 = -2.2
    ⇔ x = -4.

Phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn: 

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

  1. Chuyển vế ax = -b.
  2. Chia cả hai vế của phương trình cho a ta được: x = -b/a.
  3. Kết luận tập nghiệm của phương trình: S = {-b/a}.

Ta có thể trình bày một cách ngắn gọn như sau:
ax + b = 0 ⇔ ã = -b ⇔ x = -b/a.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-b/a}.

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây:
a) 2x – 3 = 3
b) x – 7 = 4

a) 2x – 3 = 3

  • Ta có: 2x – 3 = 3 ⇔ 2x = 3 + 3 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
  • Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {3}.

b) x – 7 = 4

  • Ta có: x – 7 = 4 ⇔ x = 4 + 7 ⇔ x = 11
  • Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {11}.

2.2. Phương trình đưa về dạng ax + b = 0 là gì?

Để giải các phương trình được đưa về dạng ax + b = 0, ta thường biến đổi phương trình như sau:

  1. Quy đồng mẫu số cả hai vế và tiến hành khử mẫu (nếu có).
  2. Thực hiện các phép tính toán để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c.
  3. Tìm x.

Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình đã cho về dạng ax = c có thể dẫn đến một trường hợp đặc biệt, đó là nếu hệ số của ẩn bằng 0:

  • 0x = c thì phương trình không có nghiệm. Khi đó, tập nghiệm của phương trình là S = {∅}.
  • 0x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm S = R, hay nghiệm đúng với mọi x.

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – (3 – 2x) = 3x + 1
Lời giải:

  • Ta có: 2x – (3 – 2x) = 3x + 1
  • ⇔ 2x – 3 + 2x = 3x + 1
  • ⇔ 4x – 3x = 1 + 3
  • ⇔ x = 4
  • Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S = {4}.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x – 2)/3 – (x – 2)/4 + (x – 2)/5 = 0
Lời giải:

  • Ta có: (x – 2)/3 – (x – 2)/4 + (x – 2)/5 = 0
  • ⇔ (x – 2)(1/3 – 1/4 + 1/5) = 0
  • ⇔ (x – 2).17/60 = 0
  • ⇔ x – 2 = 0
  • ⇔ x = 2
  • Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S = {2}.

2.3. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0. Cách giải của loại phương trình này như sau:

  • A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

Các bước giải cụ thể:

  1. Đưa phương trình ban đầu về dạng tổng quát A(x).B(x) = 0 bằng cách:
  • Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình sang vế trái, khi đó vế phải bằng 0.
  • Phân tích đa thức ở vế phải thành dạng nhân tử.
  1. Giải phương trình và đưa ra kết luận.

Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Lời giải:

  • Ta có: (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
  • ⇔ x^2 + 5x + 4 = 4 – x^2
  • ⇔ 2x^2 + 5x = 0
  • ⇔ x(2x + 5) = 0
  • ⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
  • ⇔ x = 0 hoặc x = -5/2
  • Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S = {-5/2, 0}.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 2)/x = (2x + 3)/[2(x – 2)]
Lời giải:
Bước 1: Điều kiện xác định của phương trình trên là: x ≠ 0, x ≠ 2.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi tiến hành khử mẫu ta được:

  • Ta có: (x + 2)/x = (2x + 3)/[2(x – 2)]
  • ⇔ [2(x + 2)(x – 2)]/[2x(x – 2)] = [x(2x + 3)]/[2x(x – 2)]
  • ⇒ 2(x – 2)(x + 2) = x(2x + 3)
    Bước 3: Giải phương trình
    Ta có:
    2(x – 2)(x + 2) = x(2x + 3) ⇔ 2(x^2 – 4) = 2x^2 + 3x
  • ⇔ 2x^2 – 8 = 2x^2 + 3x
  • ⇔ 3x = -8
  • ⇔ x = -8/3
    Bước 4: Kết luận
    So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = -8/3 là giá trị thỏa mãn.
    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-8/3}.

Bài viết trên đã mang đến cho các bạn cái nhìn cụ thể về các dạng phương trình Toán học. Hy vọng các bạn hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức trong bài và có thể áp dụng làm các bài tập liên quan. Chúc các bạn luôn học tốt và hãy đón chờ những bài viết mới, đầy thú vị từ Trường trực tuyến nhé!