Trong toán học và tính toán, việc nắm vững các dạng nguyên hàm là rất quan trọng để giải quyết các bài toán tích phân và giải phương trình vi phân. Cùng Trường trực tuyến tìm hiểu về các dạng nguyên hàm trong bài viết sau.
1. Phương pháp giải
• Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào những phương pháp đã biết:
♦ Sử dụng bảng nguyên hàm.
♦ Đổi biến số
♦ Nguyên hàm từng phần
♦ …
• Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số C tương ứng.
• Bước 3: Kết luận một nguyên hàm vừa tìm được.
2. Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=(4x+1) ex thỏa mãn điều kiện F(1)=e.
Lời giải:
⇒ ∫(4x+1) ex dx = (4x+1) ex – ∫4ex dx = (4x+1) ex – 4ex + C = (4x-3) ex + C
Mà F(1) = e ⇒ C = 0 nên F(x) = (4x-3) ex
Bài 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số và F(2)=1. Tính F(3)
Lời giải:
Vì F(2)=1 nên C=1. Suy ra F(x) = ln|x-1|+1, từ đó F(3) = 1+ln2.
Bài 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x)=xsin2x và thỏa F(0)+F(π) = -π/2. Tính F(π/4)
3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) với
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) với
Bài 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số và F(e2) = 4. Tính F(e)
Bài 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) với
Bài 5: Cho hàm số . Xác định giá trị của tham số để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F(0)=1 và F(π/4)=π/8
Bài 6: Tìm hàm số F(x), biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=√x và F(1)=1.
Bài 7: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(π/2)=0. Tính F(0)
Bài 8: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=xe-x thỏa mãn điều kiện F(0)=-1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F(x)+x+1=0.
Bài 9: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số thỏa mãn F(0)=0
Bài 10: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(0) = -ln2. Tìm tập nghiệm S của phương trình F(x)+ln(ex+1) = 3